Dost dosta tən gərək...
Bir dəfə Molla pul qazanmaq üçün parça rəngləməklə məşğul olmağa başlayır. Bir nəfər bir parça gətirib deyir: "Molla, bunu elə rənglə ki, nə qırmızı olsun, nə yaşıl, nə ağ olsun, nə qara, nə çəhrayı olsun, nə sarı. Bənövşəyi, göy, mavi, narıncı, qızılı, gümüşü də olmasın. Göy qurşağındakı heç bir rəngə də oxşamasın". Molla başa düşür ki, müştəri onu ələ salır. Aşağıdan yuxarı müştərini süzüb cavab verir: "Belə mənim gözüm üstə. Edərəm. Elə edərəm ki, rəngi lap ürəyincə olar." Müştəri çox məmnun olur və soruşur: "Yaxşı, nə vaxt gəlib götürə bilərəm?" Molla deyir: "Elə gündə gəl ki, nə bazar olsun, nə şənbə, nə bazar ertəsi, nə cümə axşamı, Nə tək gün olsun, nə cüt gün"
Molla ilə müştərinin dialoqunda sözükeçən arzu və istəklər hər biri müəyyən ehtimala malikdir və hansısa bir hadisən çoxluğunun bir parçasıdır.
Ötən bloqlarda çoxluqların bəzi növlərindən danışmışdıq. Bu gün də çoxluqlar mövzusuna davam edəcəyik. Çünki ehtimal nəzəriyyəsini yaxşı qavramaq üçün çoxluqlar nəzəriyyəsini anlamaq önəmlidir.
Fərz edək ki, bir A çoxluğu var. Bu A çoxluğu faktiki bir hadisədir. Və bu hadisənin müxtəlif baş vermə ehtimalları var. Qeyd edək ki, hadisə deyəndə mütləq şəkildə nəyin isə baş verməsi nəzərdə tutulmur. Qələmin rəngi, dostunuzun saçının rəngi, kompüterin yaddaşı və s., bunlar hamısı hansısa bir hadisə adlandırıla bilər. Ehtimal nəzəriyyəsində siz sadəcə bir çoxluğun içinə daxil olan ehtimallardan hansının baş vermə ehtimalının çox, hansının az olduğunu bilməyə çalışırsınız. Yəni universitetin ilk günü qrup yoldaşlarınızı görmədən öncə, beyninizdə onlar haqqında düşündüyünüz ehtimallar da hadisədir (xarici görünüşləri, nə qədər bilikli və ya dünyagörüşlü olduqları). Hətta ilkin tanışlıq qurduğunuz insanın xarakteri də ehtimalı hesablana bilən bir hadisədir. Biz dəqiq məlumat bilmədiyimiz bir hər şeyi ilk olaraq ehtimal edirik. Ehtimal edərkən də, keçmiş təcrübələrə, şəxsi intuisiyamıza və ya şərti asılılıqlara əsaslanırıq.
Bəzən çoxluqlar bir-biri ilə əlaqəli olduğu zaman, birindən çıxarış edərək digəri ilə bağlı hadisələrin ehtimalını müəyyən edə bilərik. Bunun üçün həmin hadisələr arasında hansı əlaqənin mövcud olduğunu anlamalıyıq. Elə oxluqlarla bağlı ən maraqlı məqam da iki və ya daha artıq çoxluq arasındakı münasibətlərdir. Bu münasibətlər eynən insan münasibətlərinə də bənzəyir. Çünki dostluqlar da, çoxluqlar kimdir. Nə qədər "introvert" (özünəqapalı) olmuş olsaq belə, digər şəxslərlə ortaq fəaliyyətlərimiz və xüsusiyyətlərimiz mövcuddur. Çoxluqlar da bir növ bu halları riyazi əsaslarla izah edir. Gəlin görək həyatımızdakı dostlarla tən, yoxsa gen olmalıyıq?
Kəsişməyən çoxluqlar - bu bir növ bir-biri ilə ünsiyyəti və əlaqəsi olmayan (hətta daha doğru desək, bir-biri ilə küsülü insanlara) bənzəyir. Ortaq nöqtələri (ehtimalları) 0-a bərabərdir. (A & B) = 0. Yəni əgər bir mühitə daxil olarkən biri ordadırsa, avtomatik olaraq bilirik ki, digəri orada deyil. Ancaq burada bir nüans var: bu o demək deyil ki, "dostlardan" (ya da düşmənlərdən) biri orada deyilsə, digəri mütləq oradadır. Çünki biz küsülü olduğumuz insanlarla eyni yerdə olmamağa çalışırıq, ancaq onların olmadığı yerə mütləq şəkildə getmirik. Bizi əsas maraqlandıran sevmədiyimiz insanlarla eyni yerdə olmamaqdır.
Daha bir nümunə deyək. Beynəlxalq sammit çərçivəsində müxtəlif seminarlara qatılmaq istəyirsiniz. Bəyəndiyiniz iki seminar var, lakin saatları üst-üstə düşdüyü üçün, ancaq ikisindən birində iştirak edə bilərsiniz. Yəni birinə qatılsanız, digərinə qatıla bilməyəcəksiniz. Amma bu o demək deyil ki, seminarlardam birində iştirak etmisinizsə, deməli mütləq o biri seminara qatılacaqsınız. Sammitin planına baxdıqda tamamilə başqa bir təlim xoşunuza gələ bilər, və bundan öncəki seçimlərin hər ikisindən imtina edə bilərsiniz. Kəsişməyən çoxluqlara qarşılıqlı əks çoxluqlar da deyilir. Bir çoxluğun içindəki əks hadisələr kimi bir-birinə əks olan çoxluqlar (hadisələr) da eyni anda baş vermir. Bu cür çoxluqların xüsusi halı da "Tamamlayıcı çoxluqlar"-dır.
Tamamlayıcı çoxluqlar - Bəzi çoxluqlar eyni anda baş verməməklə yanaşı, həm də onların baş vermə ehtimallarının cəmi 1-ə bərabərdir. Biz Ehtimal Nəzəriyyəsi ilə bağlı ötən bloqumuzda bir çoxluq daxilindəki tamamlayıcı hallardan (ingiliscə: "collectively exhaustive") bəhs etmişdik. Bu cür çoxluqlarda bütün halların cəmi 1-ə bərabər olur. Bunu nümunə üzərindən izah edək. Deyək ki, siz bir dostunuzla hansısa startup üzərində çalışırsınız. İşləriniz çoxdur və həmçinin dərslərdə də iştirak etməlisiniz. Elə bir sistem hazırlamamlısınız ki, həm dərsləri oxuya, həm də yeni işiniz üzərində lazımi vaxt sərf edə biləsiniz. Həftəsonu günlər bərabər çalışırsınız. Həftəiçi günlər mütləq dərslərə qatılmalısınız. Ancaq işləri də davam etdirmək gərəkdir. Universitetiniz dərslərə davamiyyətin stimullaşdırılması üçün qayıb limiti təşkil edir və siz elə bir sistem qurmalısınız ki, qayıb limitini keçmədən, həm dərsləri, həm işi çatdıra biləsiniz. Beləliklə də qərar verirsiniz ki, dərsə növbə ilə gəlib, mövzunu qavrayaraq dostunuza izah edəsiniz. Yəni siz işə gedəndə dostunuz dərsə getsin, siz dərsdə olanda dostunuz işə vaxt ayırsın. İkiniz də eyni anda dərsə gəlməyə də bilərsiniz, ancaq bu zaman, biriniz qayıb limitini artıq istifadə etmiş olacaq, gərək növbəti gün ikiniz də dərsə gedəsiniz ki, bu zaman da işə heç kəs getməsə iş axsayacaq. Qayıb almamaq üçün ən az biriniz dərsdə olmalısınız, işin getməsi üçün də ən az biriniz işdə olmalısınız. İki nəfər olduğunuza görə də eyni anda ikiniz də eyni yerdə ola bilməzsiniz. Yəni sizin (qayıb limitini keçmədən) dərsə gəlmə ehtimalınızın kəsişməsi 0-dır. Eyni zamanda bir öncəki nümunədən fərqli olaraq, biriniz dərsdə deyilsinizsə (ən az biriniz dərsdə olmalı olduğunuza görə), digəriniz mütləq dərsdədir.
Yəni birinizin dərsə gəlməmə ehtimalı, digərinizin dərsə gəlmə ehtimalına bərabərdir. Yəni tamamlayıcı çoxluqlar bir növ bir-birini tamamlayan dostlar kimidir. Birində çatışmayan digərində var, birinin edə bilmədiyini digəri edə bilir və işlərini növbələşdirə bilirlər. Burada dostların biri digərindən üstün, çalışqan, bacarıqlı və ya güclü ola bilər. Deməli, çoxluqların biri digərindən geniş də ola bilər. Məsələn, göy qurşağının 7 əsas rənginin 2-ni bir, 5-ni də digər çoxluqda cəmləsək, bu çoxluqlar da tamamlayıcı çoxluqlar hesab edilər. (2/7 + 5/7 = 1)
Düsturlar əsasında bu nümunə aşağıdakı kimi izah oluna bilər.
A + A' = 1 (birinci dostun dərsə gəlmə (A) və gəlməmə (A') ehtimalının cəmi 1-ə bərabərdir.)
A' = B (Birinci dostun dərsə gəlməməsi (A') ilə ikinci dostun dərsə gəlmə (B) ehtimalı bir-birinə bərabərdir.)
(A & B) = 0 (iki dostun eyni anda dərsə gəlmə ehtimalı 0-a bərabərdir)
Beləliklə, birinci düsturdakı (A') yəni şəxsin dərsdə iştirak etməməsi halı ilə (B) yəni ikinci şəxsin dərsdə iştirakı bir-birini əvəz edir.
A + B = 1
(A U B) = A + B + (A & B) = 1. ((A & B) = 0 olduğuna görə, (A U B) = A + B)
Bu mövzunu şərti asılılıqla belə izah etmək olar.
P(A'/B) = P(A' & B)/P(B) = 1
Yəni dostunuz dərsə gəlirsə, sizin dərsə gəlməmə ehtimalınız 1-ə bərabərdir. Eyni halda dərsə gəlmə ehtimalınız da, 0-a bərabərdir. (P(A/B) = P(A & B)/P(B) = 0) Burada sizin dərsə gəlməyiniz və dostunuzun dərsə gəlməyi tamamlayıcı hadisələrdir. Çünki ikiniz də ayrı-ayrılıqda 50% hallarda dərsə gəlirsiniz. Eyni anda dərsə gəlmə ehtimalınız isə 0-dır.
Az öncə danışdığımız Molla Nəsirəddin lətifəsində müştərinin istəmədiyi rənglərin hamısının ehtimalı cəmi 1-ə bərabər idi. Və o həmin hadisənin tamamlayıcı hadisəsini axtarırdı. Həmin tamamlayıcı hadisənin baş vermə ehtimalı isə 0-dır. Yəni bu çoxluq "Boş çoxluq"-dur. Həyatda hər şey ola bilər məntiqinə əsasən, təcrübədə buna uyğun gələn real nümunə yox dərəcəsindədir demək olar. Lakin yerə atdığımız bərk cismin yuxarı doğru cəzb olunması kimi fizika qanunları ilə uzlaşmayan hadisələrin ehtimalı 0 hesab oluna bilər.
Boş çoxluq beynəlxalq ədəbiyyatda "Null" deyə də adlandırılır və {} kimi, həmçinin şəkildə göstərilən kimi işarə olunur. (bax: şərti asılılıqlar)
Ehtimal nəzəriyyəsi ilə bağlı postumuzda kəsişən və birləşən çoxluqlardan bir az bəhs etmişdik. Gəlin həmin mövzuya bir daha toxunaq.
Kəsişən çoxluqlar - bu çoxluqlar, həm real nümunə olaraq, həm də dərslərdə ən çox rastımıza çıxacaq çoxluqlardır. Çünki həyatda da, istəsək də, istəməsək də yolumuz mütləq şəkildə başqaları ilə kəsişir. Bu kəsişmə nöqtəsi də bir növ bizim həmin yerdə olma ehti
malımızın üst-üstə düşdüyü nöqtədir. Yəni bizim qarşılaşdığımız şəxslərlə heç bir şərti asılılığımız olmadığı halda (yəni şəxslər bir-birinin qərarına görə yox, müstəqil qərar verirsə) o zaman, ortaq ehtimalları P(A)×P(B) olur. Buna "joint probability" yəni ortaq ehtimal deyilir. İki fərqli hadisənin kəsişməsi - onların ortaq baş vermə ehtimalıdır. Əgər bu çoxluqlar şərti olaraq bir-birindən asılıdırsa, ortaq ehtimal P(A/B)×P(B) kimi hesablanır. (Yəni B baş verdiyi halda A-nın ehtimalı ilə B-nin baş vermə ehtimalının hasili)
Bir insanın sadəcə bir dostu olmadığı kimi, real təcrübədə də bir çoxluq da sadəcə bir çoxluqla deyil, bir neçə çoxluqla kəsişir.
Eyni zamanda həmin çoxluğun kəsişdiyi çoxluqlar da başqa çoxluqlarla kəsişir.
Çoxluqların birləşməsi - birləşmə hadisələrdən heç olmasa, birinin baş vermə ehtimalının tapılmasıdır. Daha əvvəl proqramlaşdırma ilə tanış olan insanlar AND (və) və OR (və ya) funksiyaları ilə tanışdır. Əgər bir şərtlə AND qoyulursa, bu o deməkdir ki, biz bütün şərtlərin ödəndiyi (baş verdiyi) halı axtarırıq. Əgər bütün şərtlər doğrudursa, cavab TRUE, yəni doğru olaraq qayıdır. Əgər biri belə ödəmirsə, cavab FALSE, yəni yanlışdır. Bu çoxluqların kəsişməsində ilə eynidir. Yəni müxtəlif hadisələrin hər birinin kəsişdiyi ortaq nöqtələri tapılır. Birləşmə isə OR funksiyası ilə eynilik təşkil edir. Hadisələrdən heç olmasa birinin doğruluğu bizə kifayətdir. Məsələn, siz dostlarınızdan kömək istəyirsiniz, birinin köməyi sizə kifayətdir, ancaq daha çox adam köməyə gəlsə, etiraz etməzsiniz. Birləşmə də, əsas məqam təkrar halların olmamasıdır. Əgər iki və ya daha artıq hadisə eyni anda baş verə bilirsə, bu zaman onların kəsişmə nöqtəsi var. Biz ehtimalları topladıqda, bu hallar da təkrarlanır. (bax: Bir taleyin oyununda cütlənmiş zərik)
Nəriman Həsənzadənin məşhur bir şeirində şeirində dediyi kimi:
Görüşdük pillələrdə,
Yolun yarısında biz.
O qalxırdı bu dəmdə,
Mən enirdim xəbərsiz. Davamı...
Həyatda bir çox insanlarla yolumuz kəsişir, birləşir və ayrılır. Önəmli olan bir-birimizin yolundan keçdiyimiz zaman yaxşı yoldaşı ola bilmək, keçdiyimiz yolları daş-kəsəkdən təmizləmək, yolumuzun üstündəki baxçalara gül əkmək, həyatına toxunduğumuzun insanların xatirələrində yaxşı iz qoya bilmək, bir sözlə, keçdiyimiz bu yolun haqqını verə bilməkdir. Tən və ya gen olmaq isə, görünən ehtimallardan ziyadə, görünməyənlərdədir. Yəni siz siz olun, insanların dostluqları bərabər keçirdiyi zamanla ölçməyə çalışmayın. Rəqəmlər bəzi bağlılıqları hesablamaqda acizdir.
(Şəklin mənbəyi: deviantart.com/blackcrow03/)
Ancaq ürəklə doğrunu görmək olar. Çünki əsas olan gözlə görünməzdir.
- Antuan de Sent Ekzüperi ("Balaca Şahzadə")
Comments